Вычислите выражение на изображении.

На изображении представлены два математических выражения, которые нужно упростить.

1. Выражение с переменными:
$$\left(\frac{5x+y}{x-5y} + \frac{5x-y}{x+5y}\right) \div \frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}$$

Чтобы упростить это выражение, сначала найдем общий знаменатель для сложения дробей в скобках:
$$\frac{(5x+y)(x+5y) + (5x-y)(x-5y)}{(x-5y)(x+5y)}$$

Раскроем скобки в числителе:
$$\frac{5x^2 + 25xy + xy + 5y^2 + 5x^2 - 25xy - xy + 5y^2}{x^2 - 25y^2}$$

Упростим числитель:
$$\frac{10x^2 + 10y^2}{x^2 - 25y^2} = \frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2}$$

Теперь разделим эту дробь на $$\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}$$. Деление заменяем умножением на перевернутую дробь:
$$\frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2} \cdot \frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}$$

Сократим $$(x^2 + y^2)$$ и $$(x^2 - 25y^2)$$:
$$\frac{10}{1} = 10$$

2. Числовое выражение:
$$\frac{12^5}{2^3 \cdot 3^1} \cdot \frac{10^5}{2^6 \cdot 5^x}$$

Представим числа в виде произведения простых множителей:
$$\frac{(2^2 \cdot 3)^5}{2^3 \cdot 3} \cdot \frac{(2 \cdot 5)^5}{2^6 \cdot 5^x} = \frac{2^{10} \cdot 3^5}{2^3 \cdot 3} \cdot \frac{2^5 \cdot 5^5}{2^6 \cdot 5^x}$$

Упростим выражение:
$$2^{10-3+5-6} \cdot 3^{5-1} \cdot 5^{5-x} = 2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^{5-x}$$

$$2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^{5-x} = 64 \cdot 81 \cdot 5^{5-x} = 5184 \cdot 5^{5-x}$$

Если $$x = 5$$, то выражение равно 5184.