Вычислите: \(\sqrt{9-4\sqrt{2}} \cdot (1+2\sqrt{2})\)

Решение:

Сначала упростим выражение под корнем: \(\sqrt{9-4\sqrt{2}}\). Заметим, что \(9-4\sqrt{2} = 9 - 2\sqrt{8}\). Попробуем представить это в виде \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Если \(a^2+b^2=9\) и \(ab=4\), то \(a=\sqrt{8}\) и \(b=1\) не подходят. Попробуем \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Пусть \(a=2\), \(b=\sqrt{2}\). Тогда \(a^2+b^2 = 4+2 = 6 \neq 9\). Попробуем представить \(9-4\sqrt{2}\) как \((a - b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2b^2 - 2ab\sqrt{2}\). Сравнивая с \(9 - 4\sqrt{2}\), получаем \(a^2 + 2b^2 = 9\) и \(2ab = 4 \Rightarrow ab = 2\). Если \(a=2\) и \(b=1\), то \(a^2+2b^2 = 2^2 + 2(1^2) = 4+2=6 \neq 9\). Попробуем представить \(9-4\sqrt{2}\) как \((a - \sqrt{b})^2 = a^2+b-2a\sqrt{b}\). Сравнивая с \(9 - 4\sqrt{2} = 9 - 2\sqrt{8}\), получаем \(a^2+b=9\) и \(a\sqrt{b} = 2\sqrt{2} \Rightarrow a^2 b = 8\). Подставляем \(b=9-a^2\) в \(a^2 b = 8\): \(a^2(9-a^2)=8 \Rightarrow 9a^2 - a^4 = 8 \Rightarrow a^4 - 9a^2 + 8 = 0\). Пусть \(x=a^2\), тогда \(x^2-9x+8=0\). Корни: \(x_1=1, x_2=8\). Если \(a^2=1\), то \(a=1\) (берём положительный корень), тогда \(b=9-1=8\). Проверяем: \((1-\sqrt{8})^2 = 1+8-2\sqrt{8} = 9-2(2\sqrt{2}) = 9-4\sqrt{2}\). Таким образом, \(\sqrt{9-4\sqrt{2}} = \sqrt{(1-\sqrt{8})^2} = |1-\sqrt{8}| = \sqrt{8}-1 = 2\sqrt{2}-1\).

Теперь умножим результат на \((1+2\sqrt{2})\):

\((2\sqrt{2}-1)(1+2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2})^2 - 1^2 = 8-1 = 7\).

Ответ: 7