Вычислите производную функции f(x) = cos² x/2

Разбираемся:

1. Вспоминаем правило дифференцирования сложной функции: Если у нас есть функция вида f(g(x)), то её производная равна f'(g(x)) * g'(x).
2. В нашем случае f(x) = cos²(x/2) - это сложная функция. Можно представить её как (cos(x/2))².
3. Сначала берем производную внешней функции, то есть квадрата: 2 * cos(x/2).
4. Затем умножаем на производную внутренней функции, то есть cos(x/2). Производная cos(x) равна -sin(x), значит, производная cos(x/2) равна -sin(x/2) * (1/2) (не забываем еще умножить на производную x/2, которая равна 1/2).
5. Собираем все вместе: f'(x) = 2 * cos(x/2) * (-sin(x/2)) * (1/2) = -cos(x/2) * sin(x/2).
6. Вспоминаем тригонометрическую формулу: sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Тогда sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2).
7. Выражаем sin(x/2)cos(x/2) = sin(x) / 2.
8. Подставляем это в наше выражение для производной: f'(x) = -(1/2) * sin(x).

Ответ: f'(x) = -sin(x)/2