Вычислите предел: limx→2 (x²+x-6)/(x²-4)

Решение:

При подстановке \( x = 2 \) в выражение мы получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель \( x^2 + x - 6 \) на множители. Найдем корни уравнения \( x^2 + x - 6 = 0 \): \( D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \), \( x_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \), \( x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \). Таким образом, \( x^2 + x - 6 = (x - (-3))(x - 2) = (x + 3)(x - 2) \).
2. Разложим знаменатель \( x^2 - 4 \) как разность квадратов: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \).
3. Теперь подставим разложенные выражения обратно в предел: \( \lim_{x\to 2} \frac{(x + 3)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} \).
4. Сократим общие множители \( (x - 2) \) (так как \( x \to 2 \), \( x \neq 2 \)): \( \lim_{x\to 2} \frac{x + 3}{x + 2} \).
5. Подставим \( x = 2 \) в упрощенное выражение: \( \frac{2 + 3}{2 + 2} = \frac{5}{4} \).

Ответ: \( \frac{5}{4} \).