Вычислите предел: lim x→3 (x^2 - 9) / (x - 3)

Решение:

Чтобы вычислить предел функции \( \frac{x^2 - 9}{x - 3} \) при \( x \to 3 \), заметим, что при \( x = 3 \) числитель и знаменатель обращаются в ноль, что является неопределённостью вида \( \frac{0}{0} \).

Можно разложить числитель на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \). В данном случае \( x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3) \).

Теперь подставим это разложение в предел:

\[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} \]

Поскольку \( x \to 3 \), то \( x \neq 3 \), следовательно, \( x - 3 \neq 0 \). Мы можем сократить \( (x - 3) \) в числителе и знаменателе:

\[ \lim_{x \to 3} (x + 3) \]

Теперь подставим \( x = 3 \) в полученное выражение:

\[ 3 + 3 = 6 \]

Ответ: 6