Вычислите предел: lim x→∞ (10x²+8x-3) / (5x²+9x)

Решение:

Чтобы вычислить предел отношения двух многочленов при \( x \to \infty \), мы можем разделить числитель и знаменатель на самую высокую степень \( x \) в знаменателе, которая равна \( x^2 \).

1. Разделим числитель и знаменатель на \( x^2 \):
   \( \lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 8x - 3}{5x^2 + 9x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10x^2}{x^2} + \frac{8x}{x^2} - \frac{3}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} + \frac{9x}{x^2}} \)
2. Упростим выражение:
   \( = \lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{8}{x} - \frac{3}{x^2}}{5 + \frac{9}{x}} \)
3. Теперь применим свойство предела, что \( \lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0 \) для любого \( c \) и \( n > 0 \).
   \( = \frac{10 + 0 - 0}{5 + 0} \)
4. Вычислим результат:
   \( = \frac{10}{5} = 2 \)

Ответ: 2.