Вычислите предел: lim_{x→∞} (10x^2 + 8x - 3) / (5x^2 + 9x)

Решение:

Для вычисления предела функции при \( x \to \infty \) от рациональной дроби, где степень числителя равна степени знаменателя, нужно разделить каждый член числителя и знаменателя на наивысшую степень \( x \) в знаменателе, то есть \( x^2 \).

\(
\lim_{x\to\infty} \frac{10x^2 + 8x - 3}{5x^2 + 9x} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{10x^2}{x^2} + \frac{8x}{x^2} - \frac{3}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} + \frac{9x}{x^2}} \)

\( = \lim_{x\to\infty} \frac{10 + \frac{8}{x} - \frac{3}{x^2}}{5 + \frac{9}{x}} \)

Когда \( x \to \infty \), члены \( \frac{8}{x} \), \( \frac{3}{x^2} \) и \( \frac{9}{x} \) стремятся к нулю.

\( = \frac{10 + 0 - 0}{5 + 0} = \frac{10}{5} = 2 \)

Ответ: 2