Вычислите предел: lim (12x^3 - 6x) / (6x^2 - 12x + 1) при x → ∞

Решение:

Чтобы вычислить предел отношения двух многочленов при \( x \to \infty \), мы можем разделить числитель и знаменатель на наивысшую степень \( x \) в знаменателе, которая равна \( x^2 \).

Разделим числитель и знаменатель на \( x^2 \):

\( \lim_{x \to \infty} \frac{12x^3 - 6x}{6x^2 - 12x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{12x^3}{x^2} - \frac{6x}{x^2}}{\frac{6x^2}{x^2} - \frac{12x}{x^2} + \frac{1}{x^2}} \)

Упростим выражения:

\( = \lim_{x \to \infty} \frac{12x - \frac{6}{x}}{6 - \frac{12}{x} + \frac{1}{x^2}} \)

Теперь рассмотрим поведение каждого члена при \( x \to \infty \):

• \( 12x \to \infty \)
• \( \frac{6}{x} \to 0 \)
• \( 6 \) остается \( 6 \)
• \( \frac{12}{x} \to 0 \)
• \( \frac{1}{x^2} \to 0 \)

Таким образом, предел становится:

\( \lim_{x \to \infty} \frac{12x - 0}{6 - 0 + 0} = \lim_{x \to \infty} \frac{12x}{6} = \lim_{x \to \infty} 2x \)

Поскольку \( x \to \infty \), то \( 2x \to \infty \).

Ответ: \( \infty \)