Вычислите площадь закрашенной фигуры. $$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$$

Решение:

Площадь закрашенной фигуры под кривой \( y = \frac{1}{x} \) от \( x=1 \) до \( x=e \) вычисляется с помощью определённого интеграла:

\[ A = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx \]

Первообразная для функции \( \frac{1}{x} \) есть \( \ln|x| \).

Вычисляем определённый интеграл:

\[ A = \left[ \ln|x| \right]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) \]

Поскольку \( \ln(e) = 1 \) и \( \ln(1) = 0 \), получаем:

\[ A = 1 - 0 = 1 \]

Ответ: Площадь закрашенной фигуры равна 1.