2. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если AD = 24 см, ВС = 16 см, ∠A = 45°, ∠D = 90°.

Для решения задачи необходимо выполнить чертёж трапеции.

      B____________C
     /            |
    /             |
   /45°          |
 A/______________D

1) Рассмотрим трапецию ABCD. Проведем высоту из вершины B к стороне AD. Получим прямоугольный треугольник АВН, где угол А равен 45 градусов, а угол H равен 90 градусов. Следовательно, угол ABH равен 45 градусов (180 - 90 - 45 = 45). Так как углы А и АВН равны, то треугольник АВН - равнобедренный. АН = ВН.

2) Опустим высоту из вершины С к стороне AD. Получим прямоугольник HBCK, где ВС = HK = 16 см.

3) Обозначим АН = х, тогда KD = AD - AH - HK = 24 - x - 16 = 8 - x.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. Тангенс угла A = BH/AH. Так как угол A = 45 градусов, то тангенс 45 градусов = 1. Следовательно, BH/AH = 1, BH = AH = x.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник CDK. Тангенс угла D = CK/KD. Так как угол D = 90 градусов, то CK/KD = 0, CK = KD = 8 - x.

6) Так как BH и CK являются высотами трапеции, то BH = CK. Следовательно, x = 8 - x. Отсюда 2x = 8, x = 4 см.

7) Высота трапеции BH = CK = 4 см.

8) Площадь трапеции ABCD = 1/2 * (AD + BC) * BH = 1/2 * (24 + 16) * 4 = 1/2 * 40 * 4 = 80 кв.см.

Ответ: 80 кв.см.