Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=х, y = 5 - x, x = 1, x = 2, используя определенный интеграл.

Решение:

Для начала найдем точки пересечения прямых \( y=x \) и \( y=5-x \):

\( x = 5-x \)

\( 2x = 5 \)

\( x = 2.5 \)

Заданный интервал \( [1, 2] \) находится до точки пересечения \( x = 2.5 \). На этом интервале прямая \( y = 5-x \) будет верхней границей, а \( y=x \) — нижней.

Площадь фигуры находится как интеграл разности верхнего и нижнего графиков в пределах заданных x:

\[ S = \int_{1}^{2} ((5-x) - x) dx \]

\[ S = \int_{1}^{2} (5 - 2x) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ 5x - x^2 \right]_{1}^{2} \]

\[ S = (5(2) - 2^2) - (5(1) - 1^2) \]

\[ S = (10 - 4) - (5 - 1) \]

\[ S = 6 - 4 = 2 \]

Ответ: 2.