Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=3x² и y=5-2x².

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = 3x^2 \) и \( y = 5 - 2x^2 \), сначала найдём точки их пересечения. Приравняем уравнения:

\( 3x^2 = 5 - 2x^2 \)

\( 5x^2 = 5 \)

\( x^2 = 1 \)

\( x = ±1 \)

Теперь найдём значение \( y \) в точках пересечения. Подставим \( x = 1 \) в любое из уравнений:

\( y = 3(1)^2 = 3 \)

Итак, точки пересечения: \( (-1, 3) \) и \( (1, 3) \).

Площадь фигуры можно вычислить с помощью определённого интеграла:

\[ S = \int_{-1}^{1} ((5 - 2x^2) - 3x^2) dx \]

Упростим подынтегральное выражение:

\[ S = \int_{-1}^{1} (5 - 5x^2) dx \]

Теперь проинтегрируем:

\[ S = \left[ 5x - \frac{5x^3}{3} \right]_{-1}^{1} \]

Вычислим значение интеграла в пределах от -1 до 1:

\[ S = \left( 5(1) - \frac{5(1)^3}{3} \right) - \left( 5(-1) - \frac{5(-1)^3}{3} \right) \]

\[ S = \left( 5 - \frac{5}{3} \right) - \left( -5 - \frac{-5}{3} \right) \]

\[ S = \left( 5 - \frac{5}{3} \right) - \left( -5 + \frac{5}{3} \right) \]

\[ S = 5 - \frac{5}{3} + 5 - \frac{5}{3} \]

\[ S = 10 - \frac{10}{3} \]

\[ S = \frac{30 - 10}{3} = \frac{20}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{20}{3} \).