Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (353–354). 353. a) y=x², y=0, x=3; 6) y=cos x, y=0, x=0, x= в) y=sin x, y=0, x=0, x=π; г) у=, y=0, x=1, x=2. 354. a) y=x³+1, y=0, x=0, x=2; 6) y=1+2 sin x, y=0, x=0, x=; в) у 4-х, у=0; r) y=1+cos x, y=0, x=-, x=

353.

a) y = x², y = 0, x = 3

• Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x² , осью Ox и прямыми x = 0 и x = 3, вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{0}^{3} x^2 dx\]

• Вычисляем интеграл:

\[S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} = 9\]

• Ответ:

9

б) y = cos x, y = 0, x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\)

• Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = cos x, осью Ox и прямыми x = 0 и x = \(\frac{\pi}{2}\), вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx\]

• Вычисляем интеграл:

\[S = \left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1\]

• Ответ:

1

в) y = sin x, y = 0, x = 0, x = π

• Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = sin x, осью Ox и прямыми x = 0 и x = π, вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{0}^{\pi} \sin x dx\]

• Вычисляем интеграл:

\[S = \left[ -\cos x \right]_0^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2\]

• Ответ:

2

г) y = \(\frac{1}{x}\), y = 0, x = 1, x = 2

• Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = \(\frac{1}{x}\), осью Ox и прямыми x = 1 и x = 2, вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\]

• Вычисляем интеграл:

\[S = \left[ \ln |x| \right]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2\]

• Ответ:

\(\ln 2\)

354.

a) y = x³ + 1, y = 0, x = 0, x = 2

• Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x³ + 1, осью Ox и прямыми x = 0 и x = 2, вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{0}^{2} (x^3 + 1) dx\]

• Вычисляем интеграл:

\[S = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_0^2 = \frac{2^4}{4} + 2 - (\frac{0^4}{4} + 0) = \frac{16}{4} + 2 = 4 + 2 = 6\]

• Ответ:

6

б) y = 1 + 2 sin x, y = 0, x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\)

• Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 1 + 2 sin x, осью Ox и прямыми x = 0 и x = \(\frac{\pi}{2}\), вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + 2 \sin x) dx\]

• Вычисляем интеграл:

\[S = \left[ x - 2 \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} - 2 \cos \frac{\pi}{2}) - (0 - 2 \cos 0) = \frac{\pi}{2} - 0 + 2 = \frac{\pi}{2} + 2\]

• Ответ:

\(\frac{\pi}{2} + 2\)

в) y = 4 - x², y = 0

• Сначала найдем точки пересечения параболы с осью Ox:

\[4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\]

• Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 4 - x² и осью Ox, вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx\]

• Вычисляем интеграл:

\[S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^2 = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3}\]

• Ответ:

\(\frac{32}{3}\)

г) y = 1 + \(\frac{1}{2}\) cos x, y = 0, x = -\(\frac{\pi}{2}\), x = \(\frac{\pi}{2}\)

• Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 1 + \(\frac{1}{2}\) cos x, осью Ox и прямыми x = -\(\frac{\pi}{2}\) и x = \(\frac{\pi}{2}\), вычисляется как определенный интеграл:

\[S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \frac{1}{2} \cos x \right) dx\]

• Вычисляем интеграл:

\[S = \left[ x + \frac{1}{2} \sin x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2} \right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \pi + 1\]

• Ответ:

\(\pi + 1\)