Вычислите определитель матрицы А системы линейных уравнений: { 3x + 2y - z = 4, 2x - y + 5z = 23, x + 7y - z = 5; }

Решение:

Для вычисления определителя матрицы системы линейных уравнений, сначала запишем матрицу коэффициентов:

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 5 \\ 1 & 7 & -1 \end{pmatrix} \]

Теперь вычислим определитель матрицы \( |A| \) по правилу Саррюса или разложением по любой строке/столбцу. Используем разложение по первой строке:

\[ |A| = 3 \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 7 & -1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} \]

Вычисляем определители 2x2 матриц:

\[ \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 7 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - (5)(7) = 1 - 35 = -34 \]

\[ \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (5)(1) = -2 - 5 = -7 \]

\[ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = (2)(7) - (-1)(1) = 14 + 1 = 15 \]

Подставляем значения обратно:

\[ |A| = 3(-34) - 2(-7) - 1(15) = -102 + 14 - 15 = -103 \]

Ответ: a. -103