Вычислите определитель Дз в формуле Крамера для системы линейных уравнений

Решение:

Для системы линейных уравнений, заданной в общем виде:

\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 \end{cases} \]

определитель \( \Delta_3 \) — это определитель матрицы коэффициентов при неизвестных.

Система уравнений:

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ 8x_1 + 3x_2 - 6x_3 = 2 \\ 4x_1 - x_2 + 3x_3 = -3 \end{cases} \]

Матрица коэффициентов:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 8 & 3 & -6 \\ 4 & -1 & 3 \end{pmatrix} \]

Вычисляем определитель \( \Delta_3 = \det(A) \) разложением по первой строке:

\[ \Delta_3 = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 8 & -6 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \]\[ \Delta_3 = 1 \cdot (3 \cdot 3 - (-6) \cdot (-1)) - 1 \cdot (8 \cdot 3 - (-6) \cdot 4) - 1 \cdot (8 \cdot (-1) - 3 \cdot 4) \]\[ \Delta_3 = 1 \cdot (9 - 6) - 1 \cdot (24 - (-24)) - 1 \cdot (-8 - 12) \]\[ \Delta_3 = 1 \cdot 3 - 1 \cdot (24 + 24) - 1 \cdot (-20) \]\[ \Delta_3 = 3 - 1 \cdot 48 + 20 \]\[ \Delta_3 = 3 - 48 + 20 \]\[ \Delta_3 = -45 + 20 \]\[ \Delta_3 = -25 \]

Ответ: -25