Вычислите неопределенный интеграл:

Решение:

Применим правила интегрирования для каждого выражения:

1. \( \int x^4 dx \)

Используем формулу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) с \( n=4 \):

\( \int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C \)
2. \( \int (3e^x + 5\sin x + 3\cos x) dx \)

Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

\( \int 3e^x dx = 3\int e^x dx = 3e^x + C_1 \)
\( \int 5\sin x dx = 5\int \sin x dx = 5(-\cos x) + C_2 = -5\cos x + C_2 \)
\( \int 3\cos x dx = 3\int \cos x dx = 3\sin x + C_3 \)

Суммируем результаты:

\( \int (3e^x + 5\sin x + 3\cos x) dx = 3e^x - 5\cos x + 3\sin x + C \) (где \( C = C_1 + C_2 + C_3 \))
3. \( \int (x^2 + 1) dx \)

Интегрируем каждое слагаемое:

\( \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 = \frac{x^3}{3} + C_1 \)
\( \int 1 dx = x + C_2 \)

Суммируем результаты:

\( \int (x^2 + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x + C \) (где \( C = C_1 + C_2 \))
4. \( \int (2x^3 + 5x^2 - 7x - 3) dx \)

Интегрируем каждое слагаемое:

\( \int 2x^3 dx = 2\int x^3 dx = 2\frac{x^{3+1}}{3+1} + C_1 = 2\frac{x^4}{4} + C_1 = \frac{x^4}{2} + C_1 \)
\( \int 5x^2 dx = 5\int x^2 dx = 5\frac{x^{2+1}}{2+1} + C_2 = 5\frac{x^3}{3} + C_2 \)
\( \int -7x dx = -7\int x dx = -7\frac{x^{1+1}}{1+1} + C_3 = -7\frac{x^2}{2} + C_3 \)
\( \int -3 dx = -3x + C_4 \)

Суммируем результаты:

\( \int (2x^3 + 5x^2 - 7x - 3) dx = \frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} - 3x + C \) (где \( C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4 \))
5. \( \int x^3 dx \)

Используем формулу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) с \( n=3 \):

\( \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \)
6. \( \int (5^x + x^4) dx \)

Интегрируем каждое слагаемое:

\( \int 5^x dx = \frac{5^x}{\ln 5} + C_1 \)
\( \int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C_2 = \frac{x^5}{5} + C_2 \)

Суммируем результаты:

\( \int (5^x + x^4) dx = \frac{5^x}{\ln 5} + \frac{x^5}{5} + C \) (где \( C = C_1 + C_2 \))

Ответ:

1. \( \frac{x^5}{5} + C \)
2. \( 3e^x - 5\cos x + 3\sin x + C \)
3. \( \frac{x^3}{3} + x + C \)
4. \( \frac{x^4}{2} + \frac{5x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} - 3x + C \)
5. \( \frac{x^4}{4} + C \)
6. \( \frac{5^x}{\ln 5} + \frac{x^5}{5} + C \)