Вычислите наиболее рациональным способом: a) \(\frac{53^2 + 22^2 - 47^2 - 16^2}{65^2 - 2 \cdot 65 \cdot 59 + 59^2}\); б) \(\frac{59^3 - 41^3}{18} + 59 \cdot 41\); в) \(\frac{109^2 - 2 \cdot 109 \cdot 61 + 61^2}{79^2 + 73^2 - 49^2 - 55^2}\); г) \(\frac{67^3 + 52^3}{119} - 67 \cdot 52\).

Разбираемся с примерами на упрощение выражений.

а)

1. Преобразуем числитель:

\[53^2 + 22^2 - 47^2 - 16^2 = (53^2 - 47^2) + (22^2 - 16^2) = (53 + 47)(53 - 47) + (22 + 16)(22 - 16) = 100 \cdot 6 + 38 \cdot 6 = 600 + 228 = 828\]

2. Преобразуем знаменатель:

\[65^2 - 2 \cdot 65 \cdot 59 + 59^2 = (65 - 59)^2 = 6^2 = 36\]

3. Вычислим дробь:

\[\frac{828}{36} = 23\]

Ответ: 23

б)

1. Преобразуем числитель, используя формулу разности кубов \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \):

\[59^3 - 41^3 = (59 - 41)(59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2) = 18(59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2)\]

2. Вычислим выражение:

\[\frac{59^3 - 41^3}{18} + 59 \cdot 41 = \frac{18(59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2)}{18} + 59 \cdot 41 = 59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2 + 59 \cdot 41 = 59^2 + 2 \cdot 59 \cdot 41 + 41^2 = (59 + 41)^2 = 100^2 = 10000\]

Ответ: 10000

в)

1. Преобразуем числитель, используя формулу квадрата разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):

\[109^2 - 2 \cdot 109 \cdot 61 + 61^2 = (109 - 61)^2 = 48^2 = 2304\]

2. Преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \):

\[79^2 + 73^2 - 49^2 - 55^2 = (79^2 - 49^2) + (73^2 - 55^2) = (79 + 49)(79 - 49) + (73 + 55)(73 - 55) = 128 \cdot 30 + 128 \cdot 18 = 128(30 + 18) = 128 \cdot 48 = 6144\]

3. Вычислим дробь:

\[\frac{2304}{6144} = \frac{48 \cdot 48}{128 \cdot 48} = \frac{48}{128} = \frac{3}{8} = 0.375\]

Ответ: 0.375

г)

1. Преобразуем числитель, используя формулу суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \):

\[67^3 + 52^3 = (67 + 52)(67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2) = 119(67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2)\]

2. Вычислим выражение:

\[\frac{67^3 + 52^3}{119} - 67 \cdot 52 = \frac{119(67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2)}{119} - 67 \cdot 52 = 67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2 - 67 \cdot 52 = 67^2 - 2 \cdot 67 \cdot 52 + 52^2 = (67 - 52)^2 = 15^2 = 225\]

Ответ: 225