Вычислите: log₄5 + log₄25 + log₄(2/125)

Решение:

Воспользуемся свойствами логарифмов: \( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \) и \( \log_a x - \log_a y = \log_a (x/y) \).

1. Сначала сложим первые два логарифма:
   \( \log_4 5 + \log_4 25 = \log_4 (5 \cdot 25) = \log_4 125 \)
2. Теперь вычтем третий логарифм:
   \( \log_4 125 - \log_4 \frac{2}{125} = \log_4 \left( \frac{125}{\frac{2}{125}} \right) \)
3. Упростим выражение внутри логарифма:
   \( \frac{125}{\frac{2}{125}} = 125 \cdot \frac{125}{2} = \frac{125^2}{2} = \frac{15625}{2} \)
4. Получаем:
   \( \log_4 \frac{15625}{2} \)
5. Перепишем основание логарифма как степень двойки: \( 4 = 2^2 \).
   Используем формулу \( \log_{a^k} x = \frac{1}{k} \log_a x \) и \( \log_a x^m = m \log_a x \):
   \( \log_{2^2} \frac{15625}{2} = \frac{1}{2} \log_2 \frac{15625}{2} \)
6. Распишем логарифм частного:
   \( \frac{1}{2} \left( \log_2 15625 - \log_2 2 \right) \)
7. \( \log_2 2 = 1 \)
8. Представим 15625 как степень числа, удобную для логарифмирования по основанию 2. Обратим внимание, что \( 125 = 5^3 \), и \( 125^2 = (5^3)^2 = 5^6 \).
   Здесь мы видим, что что-то не сходится, давайте вернемся к началу и проверим еще раз.

9. Возвращаемся к шагу 2:

   \( \log_4 125 - \log_4 \frac{2}{125} = \log_4 \left( 125 \div \frac{2}{125} \right) = \log_4 \left( 125 \times \frac{125}{2} \right) = \log_4 \left( \frac{15625}{2} \right) \)

   Заметим, что 125 = 5³.

   \( \log_4 5^3 - \log_4 \frac{2}{5^3} \)

   \( = 3 \log_4 5 - (\log_4 2 - \log_4 5^3) \)

   \( = 3 \log_4 5 - \log_4 2 + 3 \log_4 5 \)

   \( = 6 \log_4 5 - \log_4 2 \)

   \( = \log_4 5^6 - \log_4 2 \)

   \( = \log_4 \frac{5^6}{2} = \log_4 \frac{15625}{2} \)

   Похоже, что изначально была ошибка в записи условия. Давайте предположим, что вместо 2/125 было 125/2.

   Если бы было: log₄5 + log₄25 - log₄(125/2)

   1. \( \log_4 5 + \log_4 25 = \log_4 (5 \cdot 25) = \log_4 125 \)
   2. \( \log_4 125 - \log_4 \frac{125}{2} = \log_4 \frac{125}{\frac{125}{2}} = \log_4 (125 \cdot \frac{2}{125}) = \log_4 2 \)
   3. \( \log_4 2 = \log_{2^2} 2 = \frac{1}{2} \log_2 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \)

   Однако, в исходном условии именно 2/125. Давайте продолжим с ним.

   \( \log_4 5 + \log_4 25 + \log_4 \frac{2}{125} = \log_4 (5 \cdot 25 \cdot \frac{2}{125}) \)

   \( = \log_4 (125 \cdot \frac{2}{125}) \)

   \( = \log_4 2 \)

   \( = \log_{2^2} 2 \)

   \( = \frac{1}{2} \log_2 2 \)

   \( = \frac{1}{2} \cdot 1 \)

   \( = \frac{1}{2} \)

Ответ: 1/2.