Вычислите: lim (√x² + 4x) - x при x→∞

Решение:

Для вычисления предела \( \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - x) \) умножим и разделим выражение на сопряжённое:

\( \sqrt{x^2 + 4x} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 4x} - x)(\sqrt{x^2 + 4x} + x)}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} = \frac{(x^2 + 4x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} = \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} \)

Теперь разделим числитель и знаменатель на \( x \) (при \( x \to \infty \), \( x > 0 \), поэтому \( \sqrt{x^2} = x \)):

\( \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} = \frac{\frac{4x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2(1 + \frac{4}{x})}}{x} + \frac{x}{x}} = \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1} \)

Теперь найдём предел:

\( \lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1} = \frac{4}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \)

Ответ: 2