Вычислите: lim |x² - 49| / (x - 7) при x → 7-

Решение:

Задан предел функции \( f(x) = \frac{|x^2 - 49|}{x - 7} \) при \( x \to 7^- \) (x стремится к 7 слева).

Поскольку \( x \to 7^- \), то \( x < 7 \). В этом случае \( x - 7 < 0 \).

Рассмотрим выражение \( x^2 - 49 \). Так как \( x \to 7 \), \( x^2 \) будет близко к \( 49 \), но меньше \( 49 \). Следовательно, \( x^2 - 49 < 0 \).

По определению модуля, \( |x^2 - 49| = -(x^2 - 49) = 49 - x^2 \), так как \( x^2 - 49 < 0 \).

Теперь подставим это в выражение предела:

\[ \lim_{x \to 7^-} \frac{-(x^2 - 49)}{x - 7} \]

Разложим числитель как разность квадратов: \( x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7) \).

\[ \lim_{x \to 7^-} \frac{-(x - 7)(x + 7)}{x - 7} \]

Сократим \( (x - 7) \) в числителе и знаменателе (так как \( x \neq 7 \)):

\[ \lim_{x \to 7^-} -(x + 7) \]

Теперь подставим \( x = 7 \):

\[ -(7 + 7) = -(14) = -14 \]

Ответ: -14