Вычислите: lim (x+2) / (3x^2 + 1) при x→∞

Решение:

Для вычисления предела функции \( \frac{x+2}{3x^2+1} \) при \( x \to \infty \), разделим числитель и знаменатель на старшую степень \( x \) в знаменателе, то есть на \( x^2 \).

\( \lim_{x \to \infty} \frac{x+2}{3x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}} \)

Упростим выражение:

\( = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}{3 + \frac{1}{x^2}} \)

Теперь подставим \( x = \infty \). Известно, что пределы \( \frac{1}{x} \) и \( \frac{c}{x^n} \) (где \( c \) — константа, \( n > 0 \)) при \( x \to \infty \) равны 0.

\( = \frac{0 + 0}{3 + 0} = \frac{0}{3} = 0 \)

Ответ: 0