Вычислите: lim x->14 (x^3 - 2744) / (x - 14)

Решение:

Дан предел вида \( \frac{0}{0} \). Можно применить правило Лопиталя или разложить числитель как разность кубов.

1. Метод разложения на множители:
   Числитель \( x^3 - 2744 \) можно представить как разность кубов \( x^3 - 14^3 \), так как \( 14^3 = 2744 \).
   Формула разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \).
   Применим эту формулу к числителю: \( x^3 - 14^3 = (x - 14)(x^2 + 14x + 14^2) = (x - 14)(x^2 + 14x + 196) \>.
   Теперь подставим это в исходный предел:
   \[ \lim_{x \to 14} \frac{(x - 14)(x^2 + 14x + 196)}{x - 14} \]
   Сокращаем \( (x - 14) \), так как \( x \to 14 \), но \( x \neq 14 \):
   \[ \lim_{x \to 14} (x^2 + 14x + 196) \]
   Подставляем \( x = 14 \):
   \[ 14^2 + 14 \cdot 14 + 196 = 196 + 196 + 196 = 3 \cdot 196 = 588 \]
2. Метод правила Лопиталя:
   Так как предел имеет неопределенность \( \frac{0}{0} \), мы можем взять производную от числителя и знаменателя.
   Производная числителя \( (x^3 - 2744)' = 3x^2 \).
   Производная знаменателя \( (x - 14)' = 1 \>.
   Теперь вычисляем предел от отношения производных:
   \[ \lim_{x \to 14} \frac{3x^2}{1} = 3 \cdot 14^2 = 3 \cdot 196 = 588 \]

Ответ: 588