Вычислите: lim (sqrt(x^2 + 4x) - x) при x→∞

Решение:

Для вычисления предела <\( \lim_{x\to\infty} \sqrt{x^2 + 4x} - x \)

Умножим и разделим выражение на сопряжённое:

<\( \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 4x} - x)(\sqrt{x^2 + 4x} + x)}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} \)

<\( \lim_{x\to\infty} \frac{(x^2 + 4x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} \)

<\( \lim_{x\to\infty} \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} \)

Разделим числитель и знаменатель на \( x \) (при \( x \to \infty \), \( x > 0 \), поэтому \( x = \sqrt{x^2} \)):

<\( \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{4x}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 4x}}{\sqrt{x^2}} + \frac{x}{x}} \)

<\( \lim_{x\to\infty} \frac{4}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} + \frac{4x}{x^2}} + 1} \)

<\( \lim_{x\to\infty} \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1} \)

При \( x \to \infty \), \( \frac{4}{x} \to 0 \).

<\( \frac{4}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \)

Ответ: 2