Вычислите: lim f(x), где x→0 x² ≤ f(x) ≤ x² для всех х

Решение:

По теореме о двух милиционерах (или теореме о зажатой функции) для вычисления предела \( \lim_{x \to 0} f(x) \) нам даны следующие условия:

\( x^2 \le f(x) \le x^2 \) для всех \( x \).

Рассмотрим пределы функций, которые «зажимают» \( f(x) \):

• \( \lim_{x \to 0} x^2 = 0^2 = 0 \)
• \( \lim_{x \to 0} x^2 = 0^2 = 0 \)

Так как пределы нижнего и верхнего ограничения для \( f(x) \) равны, то по теореме о двух милиционерах предел \( f(x) \) при \( x \to 0 \) также равен этому значению.

\( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)

Ответ: 0.