Вычислите интеграл \(\int_{-1}^{1} x^6 dx\)

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \(\int_{-1}^{1} x^6 dx\) сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = x^6 \).

Первообразная \( F(x) \) находится по формуле \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

В нашем случае \( n = 6 \), поэтому первообразная будет:

\[ F(x) = \frac{x^{6+1}}{6+1} = \frac{x^7}{7} \]

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\[ \int_{-1}^{1} x^6 dx = F(1) - F(-1) \]\[ F(1) = \frac{1^7}{7} = \frac{1}{7} \]\[ F(-1) = \frac{(-1)^7}{7} = \frac{-1}{7} \]\[ \int_{-1}^{1} x^6 dx = \frac{1}{7} - \left(\frac{-1}{7}\right) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7} \]

Так как функция \( x^6 \) является чётной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, интеграл можно было бы вычислить как \( 2 \int_{0}^{1} x^6 dx \) что дало бы тот же результат: \( 2 \cdot \left[\frac{x^7}{7}\right]_{0}^{1} = 2 \cdot \left(\frac{1^7}{7} - \frac{0^7}{7}\right) = 2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{7} \).

Ответ: \(\frac{2}{7}\).