Вычислите: (25^4 * 625^-4) / 5^-7 )^-4

Решение:

Для вычисления выражения воспользуемся свойствами степеней:

1. Представим основания степеней в виде степени числа 5: \( 25 = 5^2 \) и \( 625 = 5^4 \).
2. Подставим эти значения в выражение: \[ \left( \frac{(5^2)^4 \cdot (5^4)^{-4}}{5^{-7}} \right)^{-4} \]
3. Применим свойство степени степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ \left( \frac{5^{2 \cdot 4} \cdot 5^{4 \cdot (-4)}}{5^{-7}} \right)^{-4} = \left( \frac{5^8 \cdot 5^{-16}}{5^{-7}} \right)^{-4} \]
4. Применим свойство степени произведения \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе: \[ \left( \frac{5^{8 + (-16)}}{5^{-7}} \right)^{-4} = \left( \frac{5^{-8}}{5^{-7}} \right)^{-4} \]
5. Применим свойство частного степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ \left( 5^{-8 - (-7)} \right)^{-4} = \left( 5^{-8 + 7} \right)^{-4} = \left( 5^{-1} \right)^{-4} \]
6. Применим свойство степени степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) для получения конечного результата: \[ 5^{(-1) \cdot (-4)} = 5^4 \]
7. Вычислим значение \( 5^4 \): \( 5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625 \).

Ответ: 625.