Вычислите (16–17): 7.16. а) \(\dfrac{((-2)^3)^2\cdot(-2)^{-7}}{(-2)^3\cdot(-2)^5}\); б) \(\dfrac{(2\cdot(-3)^{-2})^{-1}\cdot(-3)^{-2}}{4^{-1}\cdot(-3)^{-1}\cdot((-3)^{-2})^{-1}}\).

а)

Используем свойства степеней:

\[((-2)^3)^2=(-2)^6.\]

\[\frac{(-2)^6\cdot(-2)^{-7}}{(-2)^3\cdot(-2)^5}=\frac{(-2)^{-1}}{(-2)^8}=(-2)^{-9}=-\frac{1}{2^9}=-\frac{1}{512}.\]

б)

\[(-3)^{-2}=\frac{1}{9},\qquad 4^{-1}=\frac14,\qquad (-3)^{-1}=-\frac13.\]

Тогда числитель:

\[(2\cdot(-3)^{-2})^{-1}\cdot(-3)^{-2}=\left(2\cdot\frac19\right)^{-1}\cdot\frac19=\left(\frac29\right)^{-1}\cdot\frac19=\frac92\cdot\frac19=\frac12.\]

Знаменатель:

\[4^{-1}\cdot(-3)^{-1}\cdot((-3)^{-2})^{-1}=\frac14\cdot\left(-\frac13\right)\cdot9=-\frac34.\]

Следовательно,

\[\frac{\frac12}{-\frac34}=\frac12\cdot\left(-\frac43\right)=-\frac23.\]

Ответ: а) \(-\frac{1}{512}\); б) \(-\frac23\).