Вычислите: 1) $$\frac{216^{-5} \cdot 36^3}{6^{-20}} : 2) \frac{6^9}{\left(1 \frac{5}{6}\right)^7}$$

1) $$\frac{216^{-5} \cdot 36^3}{6^{-20}}$$

Преобразуем числа 216 и 36 в степени числа 6:

$$216 = 6^3$$ и $$36 = 6^2$$.

Тогда выражение примет вид:

$$\frac{(6^3)^{-5} \cdot (6^2)^3}{6^{-20}} = \frac{6^{-15} \cdot 6^6}{6^{-20}} = \frac{6^{-15+6}}{6^{-20}} = \frac{6^{-9}}{6^{-20}} = 6^{-9-(-20)} = 6^{-9+20} = 6^{11}$$

2) $$\frac{6^9}{\left(1 \frac{5}{6}\right)^7}$$

Преобразуем смешанную дробь $$1 \frac{5}{6}$$ в неправильную:

$$1 \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}$$

Тогда выражение примет вид:

$$\frac{6^9}{\left(\frac{11}{6}\right)^7} = \frac{6^9}{\frac{11^7}{6^7}} = \frac{6^9 \cdot 6^7}{11^7} = \frac{6^{9+7}}{11^7} = \frac{6^{16}}{11^7}$$