Вычислите \[\frac{1}{7+4\sqrt{3}} + \frac{1}{7-4\sqrt{3}}\]

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Приводим дроби к общему знаменателю.

   Общий знаменатель: \((7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})\)

   \[\frac{1}{7+4\sqrt{3}} + \frac{1}{7-4\sqrt{3}} = \frac{7-4\sqrt{3} + 7+4\sqrt{3}}{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}\]

2. Шаг 2: Упрощаем числитель.

   \[\frac{7-4\sqrt{3} + 7+4\sqrt{3}}{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})} = \frac{14}{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})}\]

3. Шаг 3: Упрощаем знаменатель, используя формулу разности квадратов: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).

   \[\frac{14}{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{14}{49 - 16 \cdot 3} = \frac{14}{49 - 48} = \frac{14}{1} = 14\]

Ответ: 14