Вычислите: $$5\frac{3}{5} : \frac{5}{36} - 4\frac{1}{6} + \frac{10}{21} : \frac{12}{77}$$

Для решения этого выражения, выполним действия по порядку, преобразуя смешанные числа в неправильные дроби и выполняя деление как умножение на перевернутую дробь.

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$$5\frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{28}{5}$$ $$4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{25}{6}$$

2. Выполним деление:

$$\frac{28}{5} : \frac{5}{36} = \frac{28}{5} \cdot \frac{36}{5} = \frac{28 \cdot 36}{5 \cdot 5} = \frac{1008}{25}$$ $$\frac{10}{21} : \frac{12}{77} = \frac{10}{21} \cdot \frac{77}{12} = \frac{10 \cdot 77}{21 \cdot 12} = \frac{770}{252} = \frac{385}{126} = \frac{55}{18}$$

3. Теперь сложим и вычтем полученные дроби:

$$\frac{1008}{25} - \frac{25}{6} + \frac{55}{18}$$

Чтобы сложить или вычесть дроби, нам нужно найти общий знаменатель. Для 25, 6 и 18 общий знаменатель будет 450.

Преобразуем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1008}{25} = \frac{1008 \cdot 18}{25 \cdot 18} = \frac{18144}{450}$$ $$\frac{25}{6} = \frac{25 \cdot 75}{6 \cdot 75} = \frac{1875}{450}$$ $$\frac{55}{18} = \frac{55 \cdot 25}{18 \cdot 25} = \frac{1375}{450}$$

Теперь выполним вычитание и сложение:

$$\frac{18144}{450} - \frac{1875}{450} + \frac{1375}{450} = \frac{18144 - 1875 + 1375}{450} = \frac{17644}{450} = \frac{8822}{225}$$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$$\frac{8822}{225} = 39\frac{47}{225}$$