2. Вычислите \(\frac{(1-i)^{119}(3 - i)}{(1+i)^{120}}\)

Давай вычислим выражение: \(\frac{(1-i)^{119}(3 - i)}{(1+i)^{120}}\)

Сначала упростим выражение, используя свойства комплексных чисел. Заметим, что \(1 - i = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\) и \(1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\,\) . Тогда:

\[\frac{(1-i)^{119}(3 - i)}{(1+i)^{120}} = \frac{(\sqrt{2})^{119}e^{-i\frac{119\pi}{4}}(3 - i)}{(\sqrt{2})^{120}e^{i\frac{120\pi}{4}}}\]

Разделим числитель на знаменатель:

\[= \frac{1}{(\sqrt{2})}e^{-i\frac{119\pi}{4} - i\frac{120\pi}{4}}(3 - i) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\frac{239\pi}{4}}(3 - i)\]

Теперь упростим аргумент экспоненты:

\[-\frac{239\pi}{4} = -\frac{(240 - 1)\pi}{4} = -60\pi + \frac{\pi}{4}\]

Так как \(e^{-i60\pi} = 1\), то выражение упрощается до:

\[\frac{1}{\sqrt{2}}e^{i\frac{\pi}{4}}(3 - i) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))(3 - i)\]

\[= \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2})(3 - i) = \frac{1}{2}(1 + i)(3 - i)\]

\[= \frac{1}{2}(3 - i + 3i - i^2) = \frac{1}{2}(3 + 2i + 1) = \frac{1}{2}(4 + 2i) = 2 + i\]

Ответ: 2 + i

Отлично! Ты справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!