Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение:

Дан предел: \( \lim_{x \to -1} (7 + 6x)^{\frac{1}{x+1}} \).

При подстановке \( x = -1 \) получаем неопределённость вида \( (7 + 6(-1))^{\frac{1}{-1+1}} = (1)^{\frac{1}{0}} \). Так как степень стремится к бесконечности, это неопределённость вида \( 1^{\infty} \).

Для раскрытия неопределённости такого типа, используем метод приведения к замечательному пределу \( \lim_{y \to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}} = e \).

Для этого преобразуем выражение:

1. Выделим единицу в основании степени: \( 7 + 6x = 1 + (6 + 6x) \).
2. Перепишем выражение: \( \lim_{x \to -1} (1 + (6 + 6x))^{\frac{1}{x+1}} \).
3. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = 6 + 6x \). Когда \( x \to -1 \), то \( y \to 6 + 6(-1) = 0 \).
4. Выразим \( x+1 \) через \( y \). Из \( y = 6 + 6x \) получаем \( y = 6(1+x) \), следовательно \( \frac{y}{6} = 1+x \), а \( x+1 = \frac{y}{6} \).
5. Подставим \( y \) и \( x+1 \) в предел: \( \lim_{y \to 0} (1 + y)^{\frac{1}{\frac{y}{6}}} \).
6. Упростим показатель степени: \( \frac{1}{\frac{y}{6}} = \frac{6}{y} \).
7. Предел принимает вид: \( \lim_{y \to 0} (1 + y)^{\frac{6}{y}} \).
8. Вынесем степень 6: \( \lim_{y \to 0} ((1 + y)^{\frac{1}{y}})^6 \).
9. Используя свойство предела \( \lim (a^b) = (\lim a)^b \) и замечательный предел \( \lim_{y \to 0} (1+y)^{\frac{1}{y}} = e \), получаем: \( e^6 \).

Ответ: e⁶