1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 1)y= 1- cos x, y=0, x= -π/2, x=π/2; 2)y= sin x, y=0, x= π/6, x= 5π/6; 3)y= -x² - 4x, y=0, x=-3, x=-1; 4)y=-x² - 1, x=1, x=4, y=0; 5)y=x² - 4x+6, y=0, x= - 1, x=3; 6)y=x², y=0, x=0, x=3; 7)y= - 3x, y=0, x=2; 8)y=-x²+x+6, y=0.

Строго в рамках школьной программы такое задание решается интегрированием функции на заданном промежутке. В данном случае нужно вычислить определенный интеграл. 1) Дано: $$y = 1 - \cos x$$, $$y = 0$$, $$x = -\frac{\pi}{2}$$, $$x = \frac{\pi}{2}$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = 1 - \cos x$$ в пределах от $$-\frac{\pi}{2}$$ до $$\frac{\pi}{2}$$. $$S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx = [x - \sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} - \sin(\frac{\pi}{2})) - (-\frac{\pi}{2} - \sin(-\frac{\pi}{2})) = (\frac{\pi}{2} - 1) - (-\frac{\pi}{2} + 1) = \pi - 2$$ 2) Дано: $$y = \sin x$$, $$y = 0$$, $$x = \frac{\pi}{6}$$, $$x = \frac{5\pi}{6}$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = \sin x$$ в пределах от $$\frac{\pi}{6}$$ до $$\frac{5\pi}{6}$$. $$S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \sin x dx = [-\cos x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} = -\cos(\frac{5\pi}{6}) - (-\cos(\frac{\pi}{6})) = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$ 3) Дано: $$y = -x^2 - 4x$$, $$y = 0$$, $$x = -3$$, $$x = -1$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = -x^2 - 4x$$ в пределах от $$-3$$ до $$-1$$. $$S = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x) dx = [-\frac{x^3}{3} - 2x^2]_{-3}^{-1} = (-\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2) - (-\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2) = (\frac{1}{3} - 2) - (9 - 18) = \frac{1}{3} - 2 + 9 - 18 = \frac{1}{3} - 11 = -\frac{32}{3}$$ Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль: $$S = |-\frac{32}{3}| = \frac{32}{3}$$ 4) Дано: $$y = -x^2 - 1$$, $$x = 1$$, $$x = 4$$, $$y = 0$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = -x^2 - 1$$ в пределах от $$1$$ до $$4$$. $$S = \int_{1}^{4} (-x^2 - 1) dx = [-\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{4} = (-\frac{4^3}{3} - 4) - (-\frac{1^3}{3} - 1) = (-\frac{64}{3} - 4) - (-\frac{1}{3} - 1) = -\frac{64}{3} - 4 + \frac{1}{3} + 1 = -\frac{63}{3} - 3 = -21 - 3 = -24$$ Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль: $$S = |-24| = 24$$ 5) Дано: $$y = x^2 - 4x + 6$$, $$y = 0$$, $$x = -1$$, $$x = 3$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = x^2 - 4x + 6$$ в пределах от $$-1$$ до $$3$$. $$S = \int_{-1}^{3} (x^2 - 4x + 6) dx = [\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 6x]_{-1}^{3} = (\frac{3^3}{3} - 2(3)^2 + 6(3)) - (\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 + 6(-1)) = (9 - 18 + 18) - (-\frac{1}{3} - 2 - 6) = 9 + \frac{1}{3} + 8 = 17 + \frac{1}{3} = \frac{52}{3}$$ 6) Дано: $$y = x^2$$, $$y = 0$$, $$x = 0$$, $$x = 3$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = x^2$$ в пределах от $$0$$ до $$3$$. $$S = \int_{0}^{3} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$$ 7) Дано: $$y = -3x$$, $$y = 0$$, $$x = 2$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = -3x$$ в пределах от $$0$$ до $$2$$. $$S = \int_{0}^{2} -3x dx = [-\frac{3x^2}{2}]_{0}^{2} = -\frac{3(2)^2}{2} - (-\frac{3(0)^2}{2}) = -\frac{12}{2} = -6$$ Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль: $$S = |-6| = 6$$ 8) Дано: $$y = -x^2 + x + 6$$, $$y = 0$$. Нужно найти точки пересечения параболы с осью x, чтобы определить пределы интегрирования. Решим уравнение $$-x^2 + x + 6 = 0$$. Умножим на -1: $$x^2 - x - 6 = 0$$. Дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$. Корни: $$x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2$$, $$x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = -x^2 + x + 6$$ в пределах от $$-2$$ до $$3$$. $$S = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6) dx = [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x]_{-2}^{3} = (-\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6(3)) - (-\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} + 6(-2)) = (-9 + \frac{9}{2} + 18) - (\frac{8}{3} + 2 - 12) = 9 + \frac{9}{2} - \frac{8}{3} + 10 = 19 + \frac{27 - 16}{6} = 19 + \frac{11}{6} = \frac{114 + 11}{6} = \frac{125}{6}$$ Ответ: 1) $$S = \pi - 2$$, 2) $$S = \sqrt{3}$$, 3) $$S = \frac{32}{3}$$, 4) $$S = 24$$, 5) $$S = \frac{52}{3}$$, 6) $$S = 9$$, 7) $$S = 6$$, 8) $$S = \frac{125}{6}$$