1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Вариант II 1)y=sin x-1/2, y=0, x=π/6, x=5π/6; 2)y=2cos x, y=0, x= -π/3, x=π/3; 3)y=2 - x³, y=0, x= -1, x=1; 4)y=3 - 2x - x², y=0, x=0, x=-2; 5)y=x²+2x+4, y=0, x= - 2, x=1; 6)y=3x², y=0, x=-3, x=2; 7)y=2x, y=0, x=-3; 8)y=-x²+2x+3, y=0.

Строго в рамках школьной программы такое задание решается интегрированием функции на заданном промежутке. В данном случае нужно вычислить определенный интеграл. 1) Дано: $$y = \sin x - \frac{1}{2}$$, $$y = 0$$, $$x = \frac{\pi}{6}$$, $$x = \frac{5\pi}{6}$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = \sin x - \frac{1}{2}$$ в пределах от $$\frac{\pi}{6}$$ до $$\frac{5\pi}{6}$$. $$S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} (\sin x - \frac{1}{2}) dx = [-\cos x - \frac{1}{2}x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} = (-\cos(\frac{5\pi}{6}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{5\pi}{6}) - (-\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6}) = (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{4\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$$ 2) Дано: $$y = 2\cos x$$, $$y = 0$$, $$x = -\frac{\pi}{3}$$, $$x = \frac{\pi}{3}$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = 2\cos x$$ в пределах от $$-\frac{\pi}{3}$$ до $$\frac{\pi}{3}$$. $$S = \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} 2\cos x dx = [2\sin x]_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} = 2\sin(\frac{\pi}{3}) - 2\sin(-\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ 3) Дано: $$y = 2 - x^3$$, $$y = 0$$, $$x = -1$$, $$x = 1$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = 2 - x^3$$ в пределах от $$-1$$ до $$1$$. $$S = \int_{-1}^{1} (2 - x^3) dx = [2x - \frac{x^4}{4}]_{-1}^{1} = (2(1) - \frac{1^4}{4}) - (2(-1) - \frac{(-1)^4}{4}) = (2 - \frac{1}{4}) - (-2 - \frac{1}{4}) = 2 - \frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{4} = 4$$ 4) Дано: $$y = 3 - 2x - x^2$$, $$y = 0$$, $$x = 0$$, $$x = -2$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = 3 - 2x - x^2$$ в пределах от $$-2$$ до $$0$$. $$S = \int_{-2}^{0} (3 - 2x - x^2) dx = [3x - x^2 - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{0} = (3(0) - 0^2 - \frac{0^3}{3}) - (3(-2) - (-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3}) = 0 - (-6 - 4 + \frac{8}{3}) = 6 + 4 - \frac{8}{3} = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30 - 8}{3} = \frac{22}{3}$$ 5) Дано: $$y = x^2 + 2x + 4$$, $$y = 0$$, $$x = -2$$, $$x = 1$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = x^2 + 2x + 4$$ в пределах от $$-2$$ до $$1$$. $$S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 4) dx = [\frac{x^3}{3} + x^2 + 4x]_{-2}^{1} = (\frac{1^3}{3} + 1^2 + 4(1)) - (\frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 4(-2)) = (\frac{1}{3} + 1 + 4) - (-\frac{8}{3} + 4 - 8) = \frac{1}{3} + 5 + \frac{8}{3} + 4 = \frac{9}{3} + 9 = 3 + 9 = 12$$ 6) Дано: $$y = 3x^2$$, $$y = 0$$, $$x = -3$$, $$x = 2$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = 3x^2$$ в пределах от $$-3$$ до $$2$$. $$S = \int_{-3}^{2} 3x^2 dx = [x^3]_{-3}^{2} = 2^3 - (-3)^3 = 8 - (-27) = 8 + 27 = 35$$ 7) Дано: $$y = 2x$$, $$y = 0$$, $$x = -3$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = 2x$$ в пределах от $$-3$$ до $$0$$. $$S = \int_{-3}^{0} 2x dx = [x^2]_{-3}^{0} = 0^2 - (-3)^2 = 0 - 9 = -9$$ Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль: $$S = |-9| = 9$$ 8) Дано: $$y = -x^2 + 2x + 3$$, $$y = 0$$. Нужно найти точки пересечения параболы с осью x, чтобы определить пределы интегрирования. Решим уравнение $$-x^2 + 2x + 3 = 0$$. Умножим на -1: $$x^2 - 2x - 3 = 0$$. Дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$. Корни: $$x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$, $$x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции $$y = -x^2 + 2x + 3$$ в пределах от $$-1$$ до $$3$$. $$S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx = [-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x]_{-1}^{3} = (-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3)) - (-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1)) = (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3) = 9 - \frac{1}{3} - 1 + 3 = 11 - \frac{1}{3} = \frac{33 - 1}{3} = \frac{32}{3}$$ Ответ: 1) $$S = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$$, 2) $$S = 2\sqrt{3}$$, 3) $$S = 4$$, 4) $$S = \frac{22}{3}$$, 5) $$S = 12$$, 6) $$S = 35$$, 7) $$S = 9$$, 8) $$S = \frac{32}{3}$$