Вычислить определенный интеграл \(\int_{1}^{2} 3x^2 dx\)

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \(\int_{1}^{2} 3x^2 dx\) воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

1. Найдем первообразную для функции \( f(x) = 3x^2 \). Первообразная \( F(x) = \int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^3 + C \).
2. Определим значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования.
3. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).
4. В данном случае \( a = 1 \) и \( b = 2 \). Первообразная \( F(x) = x^3 \) (константу C можно опустить при вычислении определенного интеграла).
5. \( F(2) = 2^3 = 8 \).
6. \( F(1) = 1^3 = 1 \).
7. \( \int_{1}^{2} 3x^2 dx = F(2) - F(1) = 8 - 1 = 7 \).

Ответ: 7.