Вычислить объемы тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения \(O_x\). \(y = x^2, y^2 – x = 0\)

Пошаговое решение:

1. Выразим \(x\) из второго уравнения: \(y^2 = x\).
2. Найдем точки пересечения графиков, приравняв уравнения: \(x^2 = y^2\). Подставим \(x = y^2\) в первое уравнение: \((y^2)^2 = y\), откуда \(y^4 = y\).
3. Решим уравнение \(y^4 - y = 0\): \(y(y^3 - 1) = 0\). Корни этого уравнения: \(y = 0\) и \(y = 1\).
4. Найдем соответствующие значения \(x\): при \(y = 0\), \(x = 0^2 = 0\), и при \(y = 1\), \(x = 1^2 = 1\). Итак, точки пересечения: \((0, 0)\) и \((1, 1)\).
5. Используем формулу для объема тела вращения вокруг оси \(Ox\): \[V = \pi \int_{a}^{b} (f(x)^2 - g(x)^2) dx\] В данном случае \(f(x) = \sqrt{x}\) и \(g(x) = x^2\), а пределы интегрирования от 0 до 1.
6. Вычислим интеграл: \[V = \pi \int_{0}^{1} ((\sqrt{x})^2 - (x^2)^2) dx = \pi \int_{0}^{1} (x - x^4) dx\] \[V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5 - 2}{10} \right) = \frac{3\pi}{10}\]

Ответ: \(\frac{3\pi}{10}\)