Вычислить неопределённый интеграл: $\int \left(\frac{1}{x^3}-\frac{2x^3}{y^4}\right)\frac{dy}{dx}\,dx$.

Question

$Фото задания: Вычислить неопределённый интеграл: $\int \left(\frac{1}{x^3}-\frac{2x^3}{y^4}\right)\frac{dy}{dx}\,dx$.$ Фото задания

Accepted Answer

Считаем, что $y=y(x)$, поэтому $\frac{dy}{dx}\,dx=dy$. Тогда интеграл равен

\[\int \left(\frac{1}{x^3}-\frac{2x^3}{y^4}\right)\,dy.\]

При интегрировании по $y$ величина $x$ считается постоянной:

\[\int \frac{1}{x^3}\,dy-2x^3\int y^{-4}\,dy=\frac{y}{x^3}-2x^3\cdot\frac{y^{-3}}{-3}+C.\]

Следовательно,

\[\boxed{\frac{y}{x^3}+\frac{2x^3}{3y^3}+C}.\]

Вычислить неопределённый интеграл: \(\int \left(\frac{1}{x^3}-\frac{2x^3}{y^4}\right)\frac{dy}{dx}\,dx\).