Вычислить неопределённый интеграл $\int \frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\,dx$.

Question

$Фото задания: Вычислить неопределённый интеграл $\int \frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\,dx$.$ Фото задания

Accepted Answer

Преобразуем подынтегральную функцию:

$\displaystyle \frac{x^2+1}{\sqrt{x}}=\frac{x^2}{x^{1/2}}+\frac{1}{x^{1/2}}=x^{3/2}+x^{-1/2}$.

Применяем правило $\displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$:

$\displaystyle \int\left(x^{3/2}+x^{-1/2}\right)dx=\frac{x^{5/2}}{5/2}+\frac{x^{1/2}}{1/2}+C$.

$\displaystyle =\frac{2}{5}x^{5/2}+2\sqrt{x}+C$.

Ответ: $\displaystyle \frac{2}{5}x^{5/2}+2\sqrt{x}+C$.

Вычислить неопределённый интеграл \(\int \frac{x^2+1}{\sqrt{x}}\,dx\).