Вычислить \(\cos 4\alpha\), если \(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=\frac{7}{8}\). Варианты: −0,2; −0,5; 0,5; 0,2.

Используем тождество:

\[\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.\]

Так как \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), получаем:

\[\frac{7}{8}=1-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha,\qquad \sin^2\alpha\cos^2\alpha=\frac{1}{16}.\]

Тогда

\[\sin^2 2\alpha=4\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\frac14.\]

Следовательно,

\[\cos 4\alpha=1-2\sin^2 2\alpha=1-2\cdot\frac14=\frac12=0,5.\]

Ответ: 0,5.