Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1) Вычислил: a) 5$$\sqrt[4]{16}$$-2$$\sqrt[3]{-216}$$-$$\sqrt[4]{(-6)^4}$$ б) 0,1$$\sqrt[6]{64}$$+0,2$$\sqrt[4]{-27}$$ в) $$\sqrt[3]{-2\frac{10}{27}}$$+8$$\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$$ г) $$\sqrt{18-2\sqrt{17}}$$\sqrt{18+2\sqrt{17}}$$ 2) Упростит: a) $$\sqrt[7]{a^{28}}$$ б) $$\sqrt[28]{a^7}$$ в) $$\sqrt[5]{b^3\sqrt{b^3}}$$ 3) Решит ур-ми: a) $$\sqrt{\frac{3}{4x+9}}=\frac{1}{7}$$ б) $$\sqrt{-45-14x}=-x$$ б) $$\sqrt{4-6x-x^2}=x+4$$ г) $$\sqrt{8x-4}-\sqrt{4x+5}=1$$ 4) Найти D(f): a) f(x)=$$\frac{\sqrt{x+5}}{-\sqrt{-x^2-x+12}}$$ б) f(x)=$$\sqrt[14]{21x+3}$$ в) f(x)=$$\frac{1}{\sqrt{x^2-7x-18}}$$ 5) Решите неравенство: a) $$\sqrt{2x+1}>\sqrt{x-1}$$ б) $$\sqrt{2-x^2}\leq 1$$
Ответ:
Привет! Давай вместе решим эти задания. Не переживай, у тебя все получится!
1) Вычислить:
a) $$5\sqrt[4]{16} - 2\sqrt[3]{-216} - \sqrt[4]{(-6)^4}$$
Сначала упростим каждый член выражения:
$$\sqrt[4]{16} = 2$$, так как $$2^4 = 16$$
$$\sqrt[3]{-216} = -6$$, так как $$(-6)^3 = -216$$
$$\sqrt[4]{(-6)^4} = |-6| = 6$$
Теперь подставим эти значения в выражение:
$$5 \cdot 2 - 2 \cdot (-6) - 6 = 10 + 12 - 6 = 16$$
Ответ: 16
б) $$0.1\sqrt[6]{64} + 0.2\sqrt[4]{-27}$$
$$\sqrt[6]{64} = 2$$, так как $$2^6 = 64$$
$$\sqrt[4]{-27}$$ не имеет решения в действительных числах, так как под корнем четной степени не может быть отрицательное число. Предположим, что там $$\sqrt[3]{-27}$$.
$$\sqrt[3]{-27}=-3$$, так как $$(-3)^3 = -27$$
Теперь подставим эти значения в выражение:
$$0.1 \cdot 2 + 0.2 \cdot (-3) = 0.2 - 0.6 = -0.4$$
Ответ: -0.4
в) $$\sqrt[3]{-2\frac{10}{27}} + 8\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$$
Преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$$-2\frac{10}{27} = -\frac{64}{27}$$
$$5\frac{1}{16} = \frac{81}{16}$$
Теперь упростим каждый член выражения:
$$\sqrt[3]{-\frac{64}{27}} = -\frac{4}{3}$$, так как $$\left(-\frac{4}{3}\right)^3 = -\frac{64}{27}$$
$$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2}$$, так как $$\left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}$$
Подставим эти значения в выражение:
$$-\frac{4}{3} + 8 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{4}{3} + 12 = \frac{-4 + 36}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$$
Ответ: $$10\frac{2}{3}$$
г) $$\sqrt{18 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt{18 + 2\sqrt{17}}$$
Используем формулу разности квадратов: $$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$
$$\sqrt{(18 - 2\sqrt{17})(18 + 2\sqrt{17})} = \sqrt{18^2 - (2\sqrt{17})^2} = \sqrt{324 - 4 \cdot 17} = \sqrt{324 - 68} = \sqrt{256} = 16$$
Ответ: 16
2) Упростить:
a) $$\sqrt[7]{a^{28}}$$
$$\sqrt[7]{a^{28}} = a^{\frac{28}{7}} = a^4$$
Ответ: $$a^4$$
б) $$\sqrt[28]{a^7}$$
$$\sqrt[28]{a^7} = a^{\frac{7}{28}} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$$
Ответ: $$\sqrt[4]{a}$$
в) $$\sqrt[5]{b^3\sqrt{b^3}}$$
$$\sqrt[5]{b^3\sqrt{b^3}} = \sqrt[5]{b^3 \cdot b^{\frac{3}{2}}} = \sqrt[5]{b^{3 + \frac{3}{2}}} = \sqrt[5]{b^{\frac{9}{2}}} = b^{\frac{9}{2 \cdot 5}} = b^{\frac{9}{10}} = \sqrt[10]{b^9}$$
Ответ: $$\sqrt[10]{b^9}$$
3) Решить уравнения:
a) $$\sqrt{\frac{3}{4x + 9}} = \frac{1}{7}$$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$\frac{3}{4x + 9} = \frac{1}{49}$$
$$4x + 9 = 3 \cdot 49$$
$$4x + 9 = 147$$
$$4x = 147 - 9$$
$$4x = 138$$
$$x = \frac{138}{4} = \frac{69}{2} = 34.5$$
Ответ: 34.5
б) $$\sqrt{-45 - 14x} = -x$$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$-45 - 14x = x^2$$
$$x^2 + 14x + 45 = 0$$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 196 - 180 = 16$$
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-14 + 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$
$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-14 - 4}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$
Проверим корни:
Для $$x = -5$$: $$\sqrt{-45 - 14 \cdot (-5)} = \sqrt{-45 + 70} = \sqrt{25} = 5$$, $$-x = -(-5) = 5$$. Подходит.
Для $$x = -9$$: $$\sqrt{-45 - 14 \cdot (-9)} = \sqrt{-45 + 126} = \sqrt{81} = 9$$, $$-x = -(-9) = 9$$. Подходит.
Ответ: -5, -9
в) $$\sqrt{4 - 6x - x^2} = x + 4$$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$4 - 6x - x^2 = (x + 4)^2$$
$$4 - 6x - x^2 = x^2 + 8x + 16$$
$$2x^2 + 14x + 12 = 0$$
$$x^2 + 7x + 6 = 0$$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$$
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-7 + 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$
$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-7 - 5}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$
Проверим корни:
Для $$x = -1$$: $$\sqrt{4 - 6 \cdot (-1) - (-1)^2} = \sqrt{4 + 6 - 1} = \sqrt{9} = 3$$, $$x + 4 = -1 + 4 = 3$$. Подходит.
Для $$x = -6$$: $$\sqrt{4 - 6 \cdot (-6) - (-6)^2} = \sqrt{4 + 36 - 36} = \sqrt{4} = 2$$, $$x + 4 = -6 + 4 = -2$$. Не подходит.
Ответ: -1
г) $$\sqrt{8x - 4} - \sqrt{4x + 5} = 1$$
$$\sqrt{8x - 4} = \sqrt{4x + 5} + 1$$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$8x - 4 = (\sqrt{4x + 5} + 1)^2$$
$$8x - 4 = 4x + 5 + 2\sqrt{4x + 5} + 1$$
$$4x - 10 = 2\sqrt{4x + 5}$$
$$2x - 5 = \sqrt{4x + 5}$$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$$(2x - 5)^2 = 4x + 5$$
$$4x^2 - 20x + 25 = 4x + 5$$
$$4x^2 - 24x + 20 = 0$$
$$x^2 - 6x + 5 = 0$$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$$
$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
Проверим корни:
Для $$x = 5$$: $$\sqrt{8 \cdot 5 - 4} - \sqrt{4 \cdot 5 + 5} = \sqrt{40 - 4} - \sqrt{20 + 5} = \sqrt{36} - \sqrt{25} = 6 - 5 = 1$$. Подходит.
Для $$x = 1$$: $$\sqrt{8 \cdot 1 - 4} - \sqrt{4 \cdot 1 + 5} = \sqrt{8 - 4} - \sqrt{4 + 5} = \sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 - 3 = -1$$. Не подходит.
Ответ: 5
4) Найти область определения D(f):
a) $$f(x) = \frac{\sqrt{x + 5}}{-\sqrt{-x^2 - x + 12}}$$
Для существования квадратного корня необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$$x + 5 \geq 0$$
$$x \geq -5$$
Для знаменателя необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным, так как корень в знаменателе:
$$-x^2 - x + 12 > 0$$
$$x^2 + x - 12 < 0$$
Найдем корни квадратного уравнения:
$$x^2 + x - 12 = 0$$
$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$
Решим неравенство методом интервалов:
$$(x - 3)(x + 4) < 0$$
Интервалы: $$(-4, 3)$$.
Теперь учтем условие $$x \geq -5$$:
$$x \in [-5, 3)$$
Ответ: $$x \in [-5, 3)$$
б) $$f(x) = \sqrt[14]{21x + 3}$$
Для существования корня четной степени необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$$21x + 3 \geq 0$$
$$21x \geq -3$$
$$x \geq -\frac{3}{21}$$
$$x \geq -\frac{1}{7}$$
Ответ: $$x \geq -\frac{1}{7}$$
в) $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 7x - 18}}$$
Для существования квадратного корня в знаменателе необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным:
$$x^2 - 7x - 18 > 0$$
Найдем корни квадратного уравнения:
$$x^2 - 7x - 18 = 0$$
$$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$$
$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{121}}{2} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$$
$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{121}}{2} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$
Решим неравенство методом интервалов:
$$(x - 9)(x + 2) > 0$$
Интервалы: $$(-\infty, -2) \cup (9, +\infty)$$
Ответ: $$x \in (-\infty, -2) \cup (9, +\infty)$$
5) Решить неравенства:
a) $$\sqrt{2x + 1} > \sqrt{x - 1}$$
Для существования квадратных корней необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными:
$$2x + 1 \geq 0$$ и $$x - 1 \geq 0$$
$$2x \geq -1$$ и $$x \geq 1$$
$$x \geq -\frac{1}{2}$$ и $$x \geq 1$$
Область определения: $$x \geq 1$$
Возведем обе части неравенства в квадрат:
$$2x + 1 > x - 1$$
$$2x - x > -1 - 1$$
$$x > -2$$
Учитывая область определения $$x \geq 1$$:
$$x > 1$$
Ответ: $$x > 1$$
б) $$\sqrt{2 - x^2} \leq 1$$
Для существования квадратного корня необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$$2 - x^2 \geq 0$$
$$x^2 \leq 2$$
$$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$$
Возведем обе части неравенства в квадрат:
$$2 - x^2 \leq 1$$
$$-x^2 \leq -1$$
$$x^2 \geq 1$$
$$x \leq -1$$ или $$x \geq 1$$
Учитывая условие $$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$$:
$$-\sqrt{2} \leq x \leq -1$$ или $$1 \leq x \leq \sqrt{2}$$
Ответ: $$x \in [-\sqrt{2}, -1] \cup [1, \sqrt{2}]$$
Молодец! Ты отлично справился с этими заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!
