Вычисли радиус окружности, вписанной в ромб, если \( \angle KLM = 60^\circ \) и \( OM = 14 \) дм, а площадь ромба равна \( 392\sqrt{3} \) дм².

Шаг 1: Находим сторону ромба

Площадь ромба можно найти по формуле: \( S = a^2 \cdot sin(\alpha) \), где \( a \) – сторона ромба, \( \alpha \) – угол ромба.

Подставляем известные значения:

\[ 392\sqrt{3} = a^2 \cdot sin(60^\circ) \]\[ 392\sqrt{3} = a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]\[ a^2 = \frac{392\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]\[ a^2 = 392 \cdot 2 \]\[ a^2 = 784 \]\[ a = \sqrt{784} = 28 \] дм

Шаг 2: Находим радиус вписанной окружности

Площадь ромба также можно выразить через радиус вписанной окружности и сторону: \( S = 2ar \), где \( r \) – радиус вписанной окружности.

Подставляем известные значения:

\[ 392\sqrt{3} = 2 \cdot 28 \cdot r \]\[ r = \frac{392\sqrt{3}}{2 \cdot 28} \]\[ r = \frac{392\sqrt{3}}{56} \]\[ r = 7\sqrt{3} \] дм

Ответ: \( 7\sqrt{3} \) дм