Вычисли радиус окружности, если отрезок касательной АК = 4√3 см и ∠ОАК = 30°.

Дано:

• Отрезок АК — касательная к окружности.
• АК = 4√3 см.
• \[ \angle OAK = 30^{\circ} \]

Найти: Радиус окружности ОК.

Решение:

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \[ \angle OAK = 90^{\circ} \]

В прямоугольном треугольнике АОК (где ОК — катет, противолежащий углу ∠ОАК, а АК — катет, прилежащий к этому углу) мы можем использовать тангенс:

• \[ \tan(\angle OAK) = \frac{OK}{AK} \]

Подставим известные значения:

• \[ \tan(30^{\circ}) = \frac{OK}{4\sqrt{3}} \]

Значение \[ \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Теперь решим уравнение относительно ОК:

• \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{OK}{4\sqrt{3}} \]
• \[ OK = \frac{1}{\sqrt{3}} \times 4\sqrt{3} \]
• \[ OK = 4 \]

Ответ: 4 см