Вычисли определённый интеграл \( \int_{-3}^{4} (6x + 2) dx \).

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{-3}^{4} (6x + 2) dx \) сначала найдём первообразную функции \( f(x) = 6x + 2 \).

Первообразная \( F(x) \) находится по правилам интегрирования:

\( \int (6x + 2) dx = 6 \int x dx + \int 2 dx \)

Используя формулы \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) и \( \int c dx = cx \), получаем:

\( F(x) = 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 2x = 6 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x = 3x^2 + 2x \)

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( a = -3 \) и \( b = 4 \).

\( F(4) = 3(4)^2 + 2(4) = 3(16) + 8 = 48 + 8 = 56 \)

\( F(-3) = 3(-3)^2 + 2(-3) = 3(9) - 6 = 27 - 6 = 21 \)

\( \int_{-3}^{4} (6x + 2) dx = F(4) - F(-3) = 56 - 21 = 35 \)

Ответ: 35