Вычисли определённый интеграл $$\int_{1}^{5} \frac{3}{x} dx$$.

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \(\int_{1}^{5} \frac{3}{x} dx\) сначала найдём первообразную для функции \(f(x) = \frac{3}{x}\).

1. Первообразная для \(\frac{1}{x}\) есть \(\ln|x|\).
2. Умножая на константу \(3\), получаем первообразную для \(\frac{3}{x}\): \( F(x) = 3 \ln|x| \).
3. Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\).
4. Подставим пределы интегрирования:

\[ 3 \ln|5| - 3 \ln|1| \]\[ = 3 \ln 5 - 3 \cdot 0 \]\[ = 3 \ln 5 \]

Вывод:

Правильный вариант ответа — \(3 \ln 5\).