Вычисли наименьшее и наибольшее значения функции y = x³ + 3x² - 45x - 2 на отрезке [-8; 8].

Пошаговое решение:

1. Находим производную функции:
   \[y' = (x^3 + 3x^2 - 45x - 2)' = 3x^2 + 6x - 45\]
2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:
   \[3x^2 + 6x - 45 = 0\] Делим обе части на 3: \[x^2 + 2x - 15 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[(x + 5)(x - 3) = 0\] Критические точки: \[x_1 = -5, \quad x_2 = 3\]
3. Проверяем, принадлежат ли критические точки заданному отрезку [-8; 8]:
   Обе точки \(x_1 = -5\) и \(x_2 = 3\) принадлежат отрезку.
4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:
   • \(y(-8) = (-8)^3 + 3(-8)^2 - 45(-8) - 2 = -512 + 192 + 360 - 2 = 38\)
   • \(y(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 45(-5) - 2 = -125 + 75 + 225 - 2 = 173\)
   • \(y(3) = (3)^3 + 3(3)^2 - 45(3) - 2 = 27 + 27 - 135 - 2 = -83\)
   • \(y(8) = (8)^3 + 3(8)^2 - 45(8) - 2 = 512 + 192 - 360 - 2 = 342\)
5. Определяем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
   Сравниваем значения функции в критических точках и на концах отрезка: Наименьшее значение: \(y_{наим} = -83\) Наибольшее значение: \(y_{наиб} = 342\)

Ответ: y_наим = -83; y_наиб = 342