Вычисли АС, если CD = 13 см и / СОВ = 120°. Ответ: АС = см.

Рассмотрим треугольник СОВ. Он является равнобедренным, так как ОС=ОВ (радиусы окружности).

Следовательно, углы при основании равны:

$$∠ОСВ=∠ОВС=(180°-∠СОВ)/2=(180°-120°)/2=30°$$

Угол СОВ - центральный, опирается на дугу СВ.

Угол САВ - вписанный, опирается на дугу СВ.

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу:

$$∠САВ=∠СОВ/2=120°/2=60°$$

Рассмотрим треугольник АСВ. Сумма углов треугольника равна 180°:

$$∠АВС=180°-∠САВ-∠АСВ=180°-60°-30°=90°$$

Треугольник АВС - прямоугольный. Угол САВ=60°. Катет, лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы. Катет АС лежит против угла 30°, а гипотенуза - СВ.

Рассмотрим треугольник COD. Он является равнобедренным, так как ОС=OD (радиусы окружности).

Следовательно, углы при основании равны:

$$∠OCD=∠ODC=(180°-∠COD)/2$$

Угол COD=120°, следовательно

$$∠OCD=(180°-120°)/2=30°$$

Рассмотрим треугольник СОD. Проведем высоту ОН. Она является и медианой, и биссектрисой.

Следовательно, СН=1/2*СD=1/2*13=6,5 см

Рассмотрим прямоугольный треугольник COH. Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$$sin∠COD=CH/OC$$ $$sin60°=6.5/OC$$ $$OC=6.5/sin60°=6.5/(\sqrt{3}/2)=13/\sqrt{3}$$

Рассмотрим треугольник АВС: $$AC=1/2*CB=1/2*2*OC=OC=13/\sqrt{3}$$.

$$AC=\frac{13}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{3} \approx 7.5$$

Ответ: АС = 7.5 см.