Решение:

1. Вычислим значение в первых скобках:

   $$\frac{5}{9} + \frac{3}{7} + \frac{7}{10} = \frac{5 \cdot 70 + 3 \cdot 90 + 7 \cdot 63}{630} = \frac{350 + 270 + 441}{630} = \frac{1061}{630}$$

2. Вычислим значение во вторых скобках:

   $$\frac{4}{15} + \frac{85}{126} + \frac{9}{14} = \frac{4 \cdot 42 + 85 \cdot 5 + 9 \cdot 45}{630} = \frac{168 + 425 + 405}{630} = \frac{998}{630}$$

3. Вычислим значение в больших скобках:

   $$\frac{1061}{630} - \frac{998}{630} = \frac{1061 - 998}{630} = \frac{63}{630} = \frac{1}{10}$$

4. Выполним деление:

   $$\frac{1}{10} : \frac{1}{5} = \frac{1}{10} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$

5. Выполним умножение:

   $$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$$

Ответ: $$\frac{2}{7}$$