Вычеслить дифференциальное уравнение \(\frac{y'}{7^x} = 3y\)

Решение:

Запишем данное дифференциальное уравнение:

\[ \frac{y'}{7^x} = 3y \]

Перепишем \( y' \) как \( \frac{dy}{dx} \):

\[ \frac{1}{7^x} \frac{dy}{dx} = 3y \]

Разделим переменные, перенеся все члены с \( y \) в одну сторону, а с \( x \) — в другую:

\[ \frac{dy}{y} = 3 · 7^x dx \]

Интегрируем обе части:

\[ ∫ \frac{dy}{y} = ∫ 3 · 7^x dx \]

Левая часть:

\[ ∫ \frac{dy}{y} = u y \u007C + C_1 \]

Правая часть:

\[ ∫ 3 · 7^x dx = 3 · ∫ 7^x dx = 3 · r \frac{7^x}{r l 7} + C_2 \]

Приравниваем результаты интегрирования:

\[ u y \u007C = 3 · r r \frac{7^x}{r l 7} + C \]

где \( C = C_2 - C_1 \) — произвольная постоянная.

Выразим \( y \):

\[ y = e^{3 · \frac{7^x}{r l 7} + C} \]

Можно переписать как:

\[ y = e^C · e^{3 · \frac{7^x}{r l 7}} \]

Пусть \( A = e^C \), где \( A \) — положительная произвольная постоянная.

\[ y = A · e^{\frac{3 · 7^x}{r l 7}} \]

Примечание: Если \( y=0 \), то \( y'=0 \), и \( \frac{0}{7^x} = 3 \cdot 0 \), что является верным решением. Это решение включается в общее, если допустить \( A=0 \).

Ответ: \( y = C · e^{\frac{3 · 7^x}{r l 7}} \) или \( y = 0 \).