Для правильного выбора необходимо учитывать, что слово 'children' является множественным числом от 'child'. Апостроф (') после 'children' или 'children's' указывает на принадлежность. Поскольку комната принадлежит детям, нам нужно использовать форму родительного падежа множественного числа.
Правильная форма — The children's.
Ответ: The children's