Второй и третий признаки подобия треугольников. Докажите подобие треугольников.

Решение:

1. По двум сторонам и углу между ними (СУС):

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

В треугольнике ABC: AB = 4,5, BC = 6, AC = 3,9.

В треугольнике MNK: MN = 1,3, NK = 1,5, MK = 3.

Найдем соотношения сторон:

\( \frac{AB}{MN} = \frac{4.5}{1.3} \approx 3.46 \)

\( \frac{BC}{NK} = \frac{6}{1.5} = 4 \)

\( \frac{AC}{MK} = \frac{3.9}{3} = 1.3 \)

Углы между сторонами:

В треугольнике ABC: \( \angle B \) (неизвестен).

В треугольнике MNK: \( \angle N \) (прямой, \( 90^{\circ} \)).

В данном случае, прямых соответствий сторон и углов нет. Треугольник ABC не является прямоугольным, так как \( 4.5^2 + 3.9^2 \neq 6^2 \) \(20.25 + 15.21 = 35.46 \neq 36\).

2. По трём сторонам (ССС):

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

В треугольнике ABC: AB = 4,5, BC = 6, AC = 3,9.

В треугольнике MNK: MN = 1,3, NK = 1,5, MK = 3.

Соотношения сторон:

\( \frac{AB}{MN} = \frac{4.5}{1.3} \approx 3.46 \)

\( \frac{BC}{NK} = \frac{6}{1.5} = 4 \)

\( \frac{AC}{MK} = \frac{3.9}{3} = 1.3 \)

Эти соотношения не равны, значит, треугольники ABC и MNK не подобны по трём сторонам.

3. По двум углам (УУ):

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

В первом случае (верхние треугольники), угол между сторонами 4,5 и 3,9 не равен углу между сторонами 1,3 и 1,5. Один из углов второго треугольника (\( \angle N \)) прямой, но нет информации, что \( \angle B \) в первом треугольнике тоже прямой.

4. Второй случай (нижние треугольники):

Треугольник ABC: AB = 13, BC = 15, AC = 18.

Треугольник MNK: MN = 26, NK = 30, MK = 36.

Проверим подобие по трём сторонам (ССС):

\( \frac{AB}{MN} = \frac{13}{26} = \frac{1}{2} \)

\( \frac{BC}{NK} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \)

\( \frac{AC}{MK} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \)

Так как все три пары сторон пропорциональны с одним и тем же коэффициентом \( k = 2 \), то треугольники ABC и MNK подобны по третьему признаку (по трём сторонам).

Вывод: Треугольники ABC и MNK (второй случай) подобны по трём сторонам.